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Fares Roula - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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Asymptotical and numerical analysis of a viscous non newtonian fluid flow in thin tube structures
2011Co-Authors: Fares RoulaAbstract:Afin de modéliser le flux sanguin dans les vaisseaux, l’équation de Stokes avec une viscosité variable est considérée dans une structure tubulaire mince, c’est à dire, dans une union de rectangles minces avec des hauteurs d’ordre ε et des bases d’ordre 1. Un développement asymptotique de la solution est construit. Dans le cas des perturbations aléatoires de la viscosité constante, nous prouvons que le premier terme de la vitesse est déterministe, alors que pour la pression, il est aléatoire, mais les espérances de la pression satisfont l’équation déterministe de Darcy. Les estimations pour la différence entre la solution exacte et son approximation asymptotique sont prouvées. Enfin, nous donnons quelques résultats numériques. Nous étendons les résultats à une structure tubulaire mince composée de deux rectangles minces avec des parois élastiques qui sont reliés par un domaine dont les parois sont rigides. Après une approche variationnelle du problème qui nous donne des résultats d’existence, d’unicité, de régularité, et certaines estimations, a priori, nous construisons une solution asymptotique. Nous présentons et résolvons les problèmes de tous les termes du développement asymptotique. Pour deux cas différents, nous décrivons l’ordre des étapes de résolution de l’algorithme du problème et nous construisons le terme principal du développement asymptotique. Et enfin, nous présentons une analyse variationnelle et asymptotique pour un cas plus général où la viscosité dépend du tenseur des déformations dans un canal mince. Par le biais des estimations a priori, nous justifions nos constructions asymptotiques, par l’obtention d’une petite erreur entre les solutions exactes et asymptotiquesIn order to model the blood flow through vessels, the Stokes equation with the nonconstant viscosity is considered in a thin tube structure, i.e., in a connected union of thin rectangles with heights of order ε and bases of order 1 with smoothened boundary. An asymptotic expansion of the solution is constructed. In the case of random perturbations of the constant viscosity, we prove that the leading term for the velocity is deterministic, while for the pressure it is random, but the expectations of the pressure satisfies the deterministic Darcy equation. Estimates for the difference between the exact solution and its asymptotic approximation are proved. Finally, we give some numerical results. We extend the results for a thin tube structure composed by two thin rectangles with lateral elastic boundaries which are connected by a domain with rigid boundaries. After a variational approach of the problem which gives us existence, uniqueness, regularity results and some a priori estimates, we construct an asymptotic solution. We present and solve the problems for all the terms of the asymptotic expansion. For two different cases, we describe the order of steps of the algorithm of solving the problem and we construct the main term of the asymptotic expansion. And finally, we present a variational and an asymptotic analysis for a more general case where the viscosity depends on the Infinitesimal Strain Tensor in a thin channel. By means of the a priori estimates, we justify our asymptotic constructions, by obtaining a small error between the exact and the asymptotic solution
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Etude asymptotique et numérique d'écoulements de fluides non-newtoniens dans des structures tubulaires minces
HAL CCSD, 2011Co-Authors: Fares RoulaAbstract:In order to model the blood flow through vessels, the Stokes equation with the nonconstant viscosity is considered in a thin tube structure, i.e., in a connected union of thin rectangles with heights of order ε and bases of order 1 with smoothened boundary. An asymptotic expansion of the solution is constructed. In the case of random perturbations of the constant viscosity, we prove that the leading term for the velocity is deterministic, while for the pressure it is random, but the expectations of the pressure satisfies the deterministic Darcy equation. Estimates for the difference between the exact solution and its asymptotic approximation are proved. Finally, we give some numerical results. We extend the results for a thin tube structure composed by two thin rectangles with lateral elastic boundaries which are connected by a domain with rigid boundaries. After a variational approach of the problem which gives us existence, uniqueness, regularity results and some a priori estimates, we construct an asymptotic solution. We present and solve the problems for all the terms of the asymptotic expansion. For two different cases, we describe the order of steps of the algorithm of solving the problem and we construct the main term of the asymptotic expansion. And finally, we present a variational and an asymptotic analysis for a more general case where the viscosity depends on the Infinitesimal Strain Tensor in a thin channel. By means of the a priori estimates, we justify our asymptotic constructions, by obtaining a small error between the exact and the asymptotic solutionsAfin de modéliser le flux sanguin dans les vaisseaux, l'équation de Stokes avec une viscosité variable est considérée dans une structure tubulaire mince, c'est à dire, dans une union de rectangles minces avec des hauteurs d'ordre ε et des bases d'ordre 1. Un développement asymptotique de la solution est construit. Dans le cas des perturbations aléatoires de la viscosité constante, nous prouvons que le premier terme de la vitesse est déterministe, alors que pour la pression, il est aléatoire, mais les espérances de la pression satisfont l'équation déterministe de Darcy. Les estimations pour la différence entre la solution exacte et son approximation asymptotique sont prouvées. Enfin, nous donnons quelques résultats numériques. Nous étendons les résultats à une structure tubulaire mince composée de deux rectangles minces avec des parois élastiques qui sont reliés par un domaine dont les parois sont rigides. Après une approche variationnelle du problème qui nous donne des résultats d'existence, d'unicité, de régularité, et certaines estimations, a priori, nous construisons une solution asymptotique. Nous présentons et résolvons les problèmes de tous les termes du développement asymptotique. Pour deux cas différents, nous décrivons l'ordre des étapes de résolution de l'algorithme du problème et nous construisons le terme principal du développement asymptotique. Et enfin, nous présentons une analyse variationnelle et asymptotique pour un cas plus général où la viscosité dépend du tenseur des déformations dans un canal mince. Par le biais des estimations a priori, nous justifions nos constructions asymptotiques, par l'obtention d'une petite erreur entre les solutions exactes et asymptotique
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Etude asymptotique et numérique d'écoulements de fluides non-newtoniens dans des structures tubulaires minces
2011Co-Authors: Fares Roula, Panassenko Grigori, Carraro LaurentAbstract:Afin de modéliser le flux sanguin dans les vaisseaux, l équation de Stokes avec une viscosité variable est considérée dans une structure tubulaire mince, c est à dire, dans une union de rectangles minces avec des hauteurs d ordre et des bases d ordre 1. Un développement asymptotique de la solution est construit. Dans le cas des perturbations aléatoires de la viscosité constante, nous prouvons que le premier terme de la vitesse est déterministe, alors que pour la pression, il est aléatoire, mais les espérances de la pression satisfont l équation déterministe de Darcy. Les estimations pour la différence entre la solution exacte et son approximation asymptotique sont prouvées. Enfin, nous donnons quelques résultats numériques. Nous étendons les résultats à une structure tubulaire mince composée de deux rectangles minces avec des parois élastiques qui sont reliés par un domaine dont les parois sont rigides. Après une approche variationnelle du problème qui nous donne des résultats d existence, d unicité, de régularité, et certaines estimations, a priori, nous construisons une solution asymptotique. Nous présentons et résolvons les problèmes de tous les termes du développement asymptotique. Pour deux cas différents, nous décrivons l ordre des étapes de résolution de l algorithme du problème et nous construisons le terme principal du développement asymptotique. Et enfin, nous présentons une analyse variationnelle et asymptotique pour un cas plus général où la viscosité dépend du tenseur des déformations dans un canal mince. Par le biais des estimations a priori, nous justifions nos constructions asymptotiques, par l obtention d une petite erreur entre les solutions exactes et asymptotiquesIn order to model the blood flow through vessels, the Stokes equation with the nonconstant viscosity is considered in a thin tube structure, i.e., in a connected union of thin rectangles with heights of order and bases of order 1 with smoothened boundary. An asymptotic expansion of the solution is constructed. In the case of random perturbations of the constant viscosity, we prove that the leading term for the velocity is deterministic, while for the pressure it is random, but the expectations of the pressure satisfies the deterministic Darcy equation. Estimates for the difference between the exact solution and its asymptotic approximation are proved. Finally, we give some numerical results. We extend the results for a thin tube structure composed by two thin rectangles with lateral elastic boundaries which are connected by a domain with rigid boundaries. After a variational approach of the problem which gives us existence, uniqueness, regularity results and some a priori estimates, we construct an asymptotic solution. We present and solve the problems for all the terms of the asymptotic expansion. For two different cases, we describe the order of steps of the algorithm of solving the problem and we construct the main term of the asymptotic expansion. And finally, we present a variational and an asymptotic analysis for a more general case where the viscosity depends on the Infinitesimal Strain Tensor in a thin channel. By means of the a priori estimates, we justify our asymptotic constructions, by obtaining a small error between the exact and the asymptotic solutionsST ETIENNE-Bib. électronique (422189901) / SudocSudocFranceF
Robert J Martin - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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geometry of logarithmic Strain measures in solid mechanics
Archive for Rational Mechanics and Analysis, 2016Co-Authors: Patrizio Neff, Bernhard Eidel, Robert J MartinAbstract:We consider the two logarithmic Strain measures $$\begin{array}{ll} {\omega_{\mathrm{iso}}} = ||{{\mathrm dev}_n {\mathrm log} U} || = ||{{\mathrm dev}_n {\mathrm log} \sqrt{F^TF}}|| \quad \text{ and } \quad \\ {\omega_{\mathrm{vol}}} = |{{\mathrm tr}({\mathrm log} U)} = |{{\mathrm tr}({\mathrm log}\sqrt{F^TF})}| = |{\mathrm log}({\mathrm det} U)|\,,\end{array}$$ which are isotropic invariants of the Hencky Strain Tensor \({\log U}\), and show that they can be uniquely characterized by purely geometric methods based on the geodesic distance on the general linear group \({{\rm GL}(n)}\). Here, \({F}\) is the deformation gradient, \({U=\sqrt{F^TF}}\) is the right Biot-stretch Tensor, \({\log}\) denotes the principal matrix logarithm, \({\| \cdot \|}\) is the Frobenius matrix norm, \({\rm tr}\) is the trace operator and \({{\text dev}_n X = X- \frac{1}{n} \,{\text tr}(X)\cdot {\mathbb{1}}}\) is the \({n}\)-dimensional deviator of \({X\in{\mathbb {R}}^{n \times n}}\). This characterization identifies the Hencky (or true) Strain Tensor as the natural nonlinear extension of the linear (Infinitesimal) Strain Tensor \({\varepsilon={\text sym}\nabla u}\), which is the symmetric part of the displacement gradient \({\nabla u}\), and reveals a close geometric relation between the classical quadratic isotropic energy potential $$\mu {\| {\text dev}_n {\text sym} \nabla u \|}^2 + \frac{\kappa}{2}{[{\text tr}({\text sym} \nabla u)]}^2 = \mu {\| {\text dev}_n \varepsilon \|}^2 + \frac{\kappa}{2} {[{\text tr} (\varepsilon)]}^2$$ in linear elasticity and the geometrically nonlinear quadratic isotropic Hencky energy $$\mu {\| {\text dev}_n log U \|}^2 + \frac{\kappa}{2}{[{\text tr}(log U)]}^2 = \mu {\omega_{{\text iso}}^2} + \frac{\kappa}{2}{\omega_{{\text vol}}^2},$$ where \({\mu}\) is the shear modulus and \({\kappa}\) denotes the bulk modulus. Our deduction involves a new fundamental logarithmic minimization property of the orthogonal polar factor \({R}\), where \({F=RU}\) is the polar decomposition of \({F}\). We also contrast our approach with prior attempts to establish the logarithmic Hencky Strain Tensor directly as the preferred Strain Tensor in nonlinear isotropic elasticity.
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geometry of logarithmic Strain measures in solid mechanics
arXiv: Differential Geometry, 2015Co-Authors: Patrizio Neff, Bernhard Eidel, Robert J MartinAbstract:We consider the two logarithmic Strain measures\[\omega_{\rm iso}=\|\mathrm{dev}_n\log U\|=\|\mathrm{dev}_n\log \sqrt{F^TF}\|\quad\text{ and }\quad \omega_{\rm vol}=|\mathrm{tr}(\log U)|=|\mathrm{tr}(\log\sqrt{F^TF})|\,,\]which are isotropic invariants of the Hencky Strain Tensor $\log U$, and show that they can be uniquely characterized by purely geometric methods based on the geodesic distance on the general linear group $\mathrm{GL}(n)$. Here, $F$ is the deformation gradient, $U=\sqrt{F^TF}$ is the right Biot-stretch Tensor, $\log$ denotes the principal matrix logarithm, $\|.\|$ is the Frobenius matrix norm, $\mathrm{tr}$ is the trace operator and $\mathrm{dev}_n X$ is the $n$-dimensional deviator of $X\in\mathbb{R}^{n\times n}$. This characterization identifies the Hencky (or true) Strain Tensor as the natural nonlinear extension of the linear (Infinitesimal) Strain Tensor $\varepsilon=\mathrm{sym}\nabla u$, which is the symmetric part of the displacement gradient $\nabla u$, and reveals a close geometric relation between the classical quadratic isotropic energy potential \[\mu\,\|\mathrm{dev}_n\mathrm{sym}\nabla u\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[\mathrm{tr}(\mathrm{sym}\nabla u)]^2=\mu\,\|\mathrm{dev}_n\varepsilon\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[\mathrm{tr}(\varepsilon)]^2\]in linear elasticity and the geometrically nonlinear quadratic isotropic Hencky energy\[\mu\,\|\mathrm{dev}_n\log U\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[\mathrm{tr}(\log U)]^2=\mu\,\omega_{\rm iso}^2+\frac\kappa2\,\omega_{\rm vol}^2\,,\]where $\mu$ is the shear modulus and $\kappa$ denotes the bulk modulus. Our deduction involves a new fundamental logarithmic minimization property of the orthogonal polar factor $R$, where $F=R\,U$ is the polar decomposition of $F$. We also contrast our approach with prior attempts to establish the logarithmic Hencky Strain Tensor directly as the preferred Strain Tensor in nonlinear isotropic elasticity.
Patrizio Neff - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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geometry of logarithmic Strain measures in solid mechanics
Archive for Rational Mechanics and Analysis, 2016Co-Authors: Patrizio Neff, Bernhard Eidel, Robert J MartinAbstract:We consider the two logarithmic Strain measures $$\begin{array}{ll} {\omega_{\mathrm{iso}}} = ||{{\mathrm dev}_n {\mathrm log} U} || = ||{{\mathrm dev}_n {\mathrm log} \sqrt{F^TF}}|| \quad \text{ and } \quad \\ {\omega_{\mathrm{vol}}} = |{{\mathrm tr}({\mathrm log} U)} = |{{\mathrm tr}({\mathrm log}\sqrt{F^TF})}| = |{\mathrm log}({\mathrm det} U)|\,,\end{array}$$ which are isotropic invariants of the Hencky Strain Tensor \({\log U}\), and show that they can be uniquely characterized by purely geometric methods based on the geodesic distance on the general linear group \({{\rm GL}(n)}\). Here, \({F}\) is the deformation gradient, \({U=\sqrt{F^TF}}\) is the right Biot-stretch Tensor, \({\log}\) denotes the principal matrix logarithm, \({\| \cdot \|}\) is the Frobenius matrix norm, \({\rm tr}\) is the trace operator and \({{\text dev}_n X = X- \frac{1}{n} \,{\text tr}(X)\cdot {\mathbb{1}}}\) is the \({n}\)-dimensional deviator of \({X\in{\mathbb {R}}^{n \times n}}\). This characterization identifies the Hencky (or true) Strain Tensor as the natural nonlinear extension of the linear (Infinitesimal) Strain Tensor \({\varepsilon={\text sym}\nabla u}\), which is the symmetric part of the displacement gradient \({\nabla u}\), and reveals a close geometric relation between the classical quadratic isotropic energy potential $$\mu {\| {\text dev}_n {\text sym} \nabla u \|}^2 + \frac{\kappa}{2}{[{\text tr}({\text sym} \nabla u)]}^2 = \mu {\| {\text dev}_n \varepsilon \|}^2 + \frac{\kappa}{2} {[{\text tr} (\varepsilon)]}^2$$ in linear elasticity and the geometrically nonlinear quadratic isotropic Hencky energy $$\mu {\| {\text dev}_n log U \|}^2 + \frac{\kappa}{2}{[{\text tr}(log U)]}^2 = \mu {\omega_{{\text iso}}^2} + \frac{\kappa}{2}{\omega_{{\text vol}}^2},$$ where \({\mu}\) is the shear modulus and \({\kappa}\) denotes the bulk modulus. Our deduction involves a new fundamental logarithmic minimization property of the orthogonal polar factor \({R}\), where \({F=RU}\) is the polar decomposition of \({F}\). We also contrast our approach with prior attempts to establish the logarithmic Hencky Strain Tensor directly as the preferred Strain Tensor in nonlinear isotropic elasticity.
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geometry of logarithmic Strain measures in solid mechanics
arXiv: Differential Geometry, 2015Co-Authors: Patrizio Neff, Bernhard Eidel, Robert J MartinAbstract:We consider the two logarithmic Strain measures\[\omega_{\rm iso}=\|\mathrm{dev}_n\log U\|=\|\mathrm{dev}_n\log \sqrt{F^TF}\|\quad\text{ and }\quad \omega_{\rm vol}=|\mathrm{tr}(\log U)|=|\mathrm{tr}(\log\sqrt{F^TF})|\,,\]which are isotropic invariants of the Hencky Strain Tensor $\log U$, and show that they can be uniquely characterized by purely geometric methods based on the geodesic distance on the general linear group $\mathrm{GL}(n)$. Here, $F$ is the deformation gradient, $U=\sqrt{F^TF}$ is the right Biot-stretch Tensor, $\log$ denotes the principal matrix logarithm, $\|.\|$ is the Frobenius matrix norm, $\mathrm{tr}$ is the trace operator and $\mathrm{dev}_n X$ is the $n$-dimensional deviator of $X\in\mathbb{R}^{n\times n}$. This characterization identifies the Hencky (or true) Strain Tensor as the natural nonlinear extension of the linear (Infinitesimal) Strain Tensor $\varepsilon=\mathrm{sym}\nabla u$, which is the symmetric part of the displacement gradient $\nabla u$, and reveals a close geometric relation between the classical quadratic isotropic energy potential \[\mu\,\|\mathrm{dev}_n\mathrm{sym}\nabla u\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[\mathrm{tr}(\mathrm{sym}\nabla u)]^2=\mu\,\|\mathrm{dev}_n\varepsilon\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[\mathrm{tr}(\varepsilon)]^2\]in linear elasticity and the geometrically nonlinear quadratic isotropic Hencky energy\[\mu\,\|\mathrm{dev}_n\log U\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[\mathrm{tr}(\log U)]^2=\mu\,\omega_{\rm iso}^2+\frac\kappa2\,\omega_{\rm vol}^2\,,\]where $\mu$ is the shear modulus and $\kappa$ denotes the bulk modulus. Our deduction involves a new fundamental logarithmic minimization property of the orthogonal polar factor $R$, where $F=R\,U$ is the polar decomposition of $F$. We also contrast our approach with prior attempts to establish the logarithmic Hencky Strain Tensor directly as the preferred Strain Tensor in nonlinear isotropic elasticity.
Hailong Chen - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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Constructing continuum-like measures based on a nonlocal lattice particle model: Deformation gradient, Strain and stress Tensors
International Journal of Solids and Structures, 2019Co-Authors: Hailong ChenAbstract:Abstract Explicit expressions for continuum-like measures of deformation gradient, Strain and stress Tensors were constructed using the techniques of weighted least squares and energy conjugate. Although presented based on a nonlocal lattice particle model, the formulations of these measures are general in nature and can be applied to other numerical models. Deformation gradient was formulated based on the deformation states of neighboring material points. Within the small Strain limit, the Infinitesimal Strain Tensor was derived from normal Strains of bonds connecting material point of interest with all its neighbors. The second Piola–Kirchhoff stress Tensor was constructed using the energy conjugate concept with respect to Green–Lagrangian Strain Tensor. The first Piola–Kirchhoff and Cauchy stress Tensors were also formulated based on the derived second Piola–Kirchhoff stress Tensor. For problems of homogeneous and inhomogeneous deformations, all three constructed measures yield very good predictions comparing to local continuum mechanics solutions. However, the second Piola–Kirchhoff formulation predicts less accurate results in surface regions due to incomplete neighbor list of material points with these regions.
Carraro Laurent - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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Etude asymptotique et numérique d'écoulements de fluides non-newtoniens dans des structures tubulaires minces
2011Co-Authors: Fares Roula, Panassenko Grigori, Carraro LaurentAbstract:Afin de modéliser le flux sanguin dans les vaisseaux, l équation de Stokes avec une viscosité variable est considérée dans une structure tubulaire mince, c est à dire, dans une union de rectangles minces avec des hauteurs d ordre et des bases d ordre 1. Un développement asymptotique de la solution est construit. Dans le cas des perturbations aléatoires de la viscosité constante, nous prouvons que le premier terme de la vitesse est déterministe, alors que pour la pression, il est aléatoire, mais les espérances de la pression satisfont l équation déterministe de Darcy. Les estimations pour la différence entre la solution exacte et son approximation asymptotique sont prouvées. Enfin, nous donnons quelques résultats numériques. Nous étendons les résultats à une structure tubulaire mince composée de deux rectangles minces avec des parois élastiques qui sont reliés par un domaine dont les parois sont rigides. Après une approche variationnelle du problème qui nous donne des résultats d existence, d unicité, de régularité, et certaines estimations, a priori, nous construisons une solution asymptotique. Nous présentons et résolvons les problèmes de tous les termes du développement asymptotique. Pour deux cas différents, nous décrivons l ordre des étapes de résolution de l algorithme du problème et nous construisons le terme principal du développement asymptotique. Et enfin, nous présentons une analyse variationnelle et asymptotique pour un cas plus général où la viscosité dépend du tenseur des déformations dans un canal mince. Par le biais des estimations a priori, nous justifions nos constructions asymptotiques, par l obtention d une petite erreur entre les solutions exactes et asymptotiquesIn order to model the blood flow through vessels, the Stokes equation with the nonconstant viscosity is considered in a thin tube structure, i.e., in a connected union of thin rectangles with heights of order and bases of order 1 with smoothened boundary. An asymptotic expansion of the solution is constructed. In the case of random perturbations of the constant viscosity, we prove that the leading term for the velocity is deterministic, while for the pressure it is random, but the expectations of the pressure satisfies the deterministic Darcy equation. Estimates for the difference between the exact solution and its asymptotic approximation are proved. Finally, we give some numerical results. We extend the results for a thin tube structure composed by two thin rectangles with lateral elastic boundaries which are connected by a domain with rigid boundaries. After a variational approach of the problem which gives us existence, uniqueness, regularity results and some a priori estimates, we construct an asymptotic solution. We present and solve the problems for all the terms of the asymptotic expansion. For two different cases, we describe the order of steps of the algorithm of solving the problem and we construct the main term of the asymptotic expansion. And finally, we present a variational and an asymptotic analysis for a more general case where the viscosity depends on the Infinitesimal Strain Tensor in a thin channel. By means of the a priori estimates, we justify our asymptotic constructions, by obtaining a small error between the exact and the asymptotic solutionsST ETIENNE-Bib. électronique (422189901) / SudocSudocFranceF