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Tarhini Rana - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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Équation de films minces fractionnaire pour les fractures hydrauliques
HAL CCSD, 2018Co-Authors: Tarhini RanaAbstract:In this thesis, we study two degenerate, non-local parabolic equations, a fractional thin film equation and a fractional porous medium equation. The introduction contains a presentation of problems, the previous results in the literature and a brief presentation of our results. In the second chapter, we present a short overview of the De Giorgi method used to prove Hölder regularity of solutions of elliptic equations. Moreover, we present the results using this approach in the local and non-local parabolic cases. In the third chapter we prove existence of weak solutions of a fractional thin film equation. It is a non-local degenerate parabolic equation of order $alpha + 2$ where $0 < alpha < 2$. It is a generalization of an equation studied by Imbert and Mellet in 2011 for $alpha = 1$. To construct these solutions, we consider a regularized problem then we pass to the limit using Sobolev Embedding Theorem, that's why we distinguish two cases $0 < alpha < 1$ and $1 leq alpha < 2$. We also prove that the solution is positive if the initial condition is so. The fourth chapter is dedicated for a fractional porous medium equation. We prove Hölder regularity of positive weak solutions satisfying energy estimates. First, we prove the existence of weak solutions that satisfy energy estimates. We distiguish two cases $0 < alpha < 1$ and $1 leq alpha < 2$ because of divergence problems. The we prove De Giorgi Lemmas about oscillation reduction from above and from below. This is not suffisant. We need to improve the lemma about oscillation reduction from above. So we pass by an intermediate values lemma and we prove an improved oscillation reduction lemma from above. Finally, we prove Hölder regularity of solutions using the scaling propertyCes travaux concernent deux équations paraboliques, dégénérées et non-locales. La première équation est une équation de films minces fractionnaire et la deuxième est une équation des milieux poreux fractionnaire. La présentation des problèmes, les résultats existants dans la littérature, ainsi que le résumé de nos résultats font l'objet de l'introduction. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la méthode de De Giorgi utilisée pour montrer la régularité Hölder des solutions des équations elliptiques. On présente de plus les résultats utilisant cette approche dans les cas paraboliques local et non-local. Dans le troisième chapitre, on montre l'existence de solutions faibles d'une équation des films minces fractionnaire. C'est une équation parabolique, dégénérée, non-locale d'ordre $alpha+2$ où $0 < alpha < 2$. C'est une généralisation d'une équation étudiée par Imbert et Mellet en 2011 pour $alpha = 1$. Pour construire les solutions, on passe par un problème régularisé. En utilisant les injections de Sobolev, on passe à la limite pour trouver des solutions faibles. Vu la différence des injections de Sobolev, on distingue deux cas $0
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Fractional equation of thin films for hydraulic fractures
2018Co-Authors: Tarhini RanaAbstract:Ces travaux concernent deux équations paraboliques, dégénérées et non-locales. La première équation est une équation de films minces fractionnaire et la deuxième est une équation des milieux poreux fractionnaire. La présentation des problèmes, les résultats existants dans la littérature, ainsi que le résumé de nos résultats font l'objet de l'introduction. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la méthode de De Giorgi utilisée pour montrer la régularité Hölder des solutions des équations elliptiques. On présente de plus les résultats utilisant cette approche dans les cas paraboliques local et non-local. Dans le troisième chapitre, on montre l'existence de solutions faibles d'une équation des films minces fractionnaire. C'est une équation parabolique, dégénérée, non-locale d'ordre α+2 où 0 ≺ α ≺ 2. C'est une généralisation d'une équation étudiée par Imbert et Mellet en 2011 pour α = 1. Pour construire les solutions, on passe par un problème régularisé. En utilisant les injections de Sobolev, on passe à la limite pour trouver des solutions faibles. Vu la différence des injections de Sobolev, on distingue deux cas 0 ≺ α ≺ 1 et 1 ≤ α ≺ 2. Dans les deux cas on démontre que la solution est positive si la condition initiale l'est. Le quatrième chapitre concerne une équation des milieux poreux fractionnaire. On montre la régularité Hölder de solutions faibles positives satisfaisant des estimées d'énergie. D'abord, on montre l'existence de solutions faibles qui satisfont des estimées d'énergie. On distingue deux cas 0 ≺ α ≺ 1 et 1 ≤ α ≺ 2 à cause de problème de divergence. Puis on démontre les lemmes de De Giorgi qui sont des lemmes de réduction de l'oscillation d'en dessus et d'au-dessous. Ces deux lemmes ne suffisent pas pour montrer la régularité Hölder. On a besoin d'améliorer le résultat du lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus. Donc, on passe par un lemme des valeurs intermédiaires et on montrer un lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus amélioré. Enfin, on montre la régularité Hölder des solutions en utilisant la propriété scaling de ces solutionsIn this thesis, we study two degenerate, non-local parabolic equations, a fractional thin film equation and a fractional porous medium equation. The introduction contains a presentation of problems, the previous results in the literature and a brief presentation of our results. In the second chapter, we present a short overview of the De Giorgi method used to prove Hölder regularity of solutions of elliptic equations. Moreover, we present the results using this approach in the local and non-local parabolic cases. In the third chapter we prove existence of weak solutions of a fractional thin film equation. It is a non-local degenerate parabolic equation of order α+2 where 0 ≺ α ≺ 2. It is a generalization of an equation studied by Imbert and Mellet in 2011 for α = 1. To construct these solutions, we consider a regularized problem then we pass to the limit using Sobolev Embedding Theorem, that's why we distinguish two cases 0 ≺ α ≺ 1 and 1 ≤ α ≺ 2. We also prove that the solution is positive if the initial condition is so. The fourth chapter is dedicated for a fractional porous medium equation. We prove Hölder regularity of positive weak solutions satisfying energy estimates. First, we prove the existence of weak solutions that satisfy energy estimates. We distiguish two cases 0 ≺ α ≺ 1 and 1 ≤ α ≺ 2 because of divergence problems. The we prove De Giorgi Lemmas about oscillation reduction from above and from below. This is not suffisant. We need to improve the lemma about oscillation reduction from above. So we pass by an intermediate values lemma and we prove an improved oscillation reduction lemma from above. Finally, we prove Hölder regularity of solutions using the scaling propert
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Équation de films minces fractionnaire pour les fractures hydrauliques
HAL CCSD, 2018Co-Authors: Tarhini RanaAbstract:In this thesis, we study two degenerate, non-local parabolic equations, a fractional thin film equation and a fractional porous medium equation. The introduction contains a presentation of problems, the previous results in the literature and a brief presentation of our results. In the second chapter, we present a short overview of the De Giorgi method used to prove Hölder regularity of solutions of elliptic equations. Moreover, we present the results using this approach in the local and non-local parabolic cases. In the third chapter we prove existence of weak solutions of a fractional thin film equation. It is a non-local degenerate parabolic equation of order α+2 where 0 ≺ α ≺ 2. It is a generalization of an equation studied by Imbert and Mellet in 2011 for α = 1. To construct these solutions, we consider a regularized problem then we pass to the limit using Sobolev Embedding Theorem, that's why we distinguish two cases 0 ≺ α ≺ 1 and 1 ≤ α ≺ 2. We also prove that the solution is positive if the initial condition is so. The fourth chapter is dedicated for a fractional porous medium equation. We prove Hölder regularity of positive weak solutions satisfying energy estimates. First, we prove the existence of weak solutions that satisfy energy estimates. We distiguish two cases 0 ≺ α ≺ 1 and 1 ≤ α ≺ 2 because of divergence problems. The we prove De Giorgi Lemmas about oscillation reduction from above and from below. This is not suffisant. We need to improve the lemma about oscillation reduction from above. So we pass by an intermediate values lemma and we prove an improved oscillation reduction lemma from above. Finally, we prove Hölder regularity of solutions using the scaling propertyCes travaux concernent deux équations paraboliques, dégénérées et non-locales. La première équation est une équation de films minces fractionnaire et la deuxième est une équation des milieux poreux fractionnaire. La présentation des problèmes, les résultats existants dans la littérature, ainsi que le résumé de nos résultats font l'objet de l'introduction. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la méthode de De Giorgi utilisée pour montrer la régularité Hölder des solutions des équations elliptiques. On présente de plus les résultats utilisant cette approche dans les cas paraboliques local et non-local. Dans le troisième chapitre, on montre l'existence de solutions faibles d'une équation des films minces fractionnaire. C'est une équation parabolique, dégénérée, non-locale d'ordre α+2 où 0 ≺ α ≺ 2. C'est une généralisation d'une équation étudiée par Imbert et Mellet en 2011 pour α = 1. Pour construire les solutions, on passe par un problème régularisé. En utilisant les injections de Sobolev, on passe à la limite pour trouver des solutions faibles. Vu la différence des injections de Sobolev, on distingue deux cas 0 ≺ α ≺ 1 et 1 ≤ α ≺ 2. Dans les deux cas on démontre que la solution est positive si la condition initiale l'est. Le quatrième chapitre concerne une équation des milieux poreux fractionnaire. On montre la régularité Hölder de solutions faibles positives satisfaisant des estimées d'énergie. D'abord, on montre l'existence de solutions faibles qui satisfont des estimées d'énergie. On distingue deux cas 0 ≺ α ≺ 1 et 1 ≤ α ≺ 2 à cause de problème de divergence. Puis on démontre les lemmes de De Giorgi qui sont des lemmes de réduction de l'oscillation d'en dessus et d'au-dessous. Ces deux lemmes ne suffisent pas pour montrer la régularité Hölder. On a besoin d'améliorer le résultat du lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus. Donc, on passe par un lemme des valeurs intermédiaires et on montrer un lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus amélioré. Enfin, on montre la régularité Hölder des solutions en utilisant la propriété scaling de ces solution
Analia Silva - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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On the Sobolev Embedding Theorem for variable exponent spaces in the critical range. arXiv:1111.6952v1 [math.AP
2016Co-Authors: Nicolas Saintier, Analia SilvaAbstract:Abstract. In this paper we study the Sobolev Embedding Theorem for variable exponent spaces with critical exponents. We find conditions on the best constant in order to guaranty the existence of extremals. The proof is based on a suitable refinement of the estimates in the Concentration–Compactness Theorem for variable exponents and an adaptation of a convexity argument due to P.L. Lions, F. Pacella and M. Tricarico. 1
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on the Sobolev Embedding Theorem for variable exponent spaces in the critical range
Journal of Differential Equations, 2012Co-Authors: Julian Fernandez Bonder, Analia Silva, Nicolas SaintierAbstract:Abstract In this paper we study the Sobolev Embedding Theorem for variable exponent spaces with critical exponents. We find conditions on the best constant in order to guaranty the existence of extremals. The proof is based on a suitable refinement of the estimates in the Concentration–Compactness Theorem for variable exponents and an adaptation of a convexity argument due to P.L. Lions, F. Pacella and M. Tricarico.
Mario Milman - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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Symmetrization inequalities and Sobolev Embeddings
Proceedings of the American Mathematical Society, 2006Co-Authors: Joaquim Martín, Mario MilmanAbstract:We prove new extended forms of the Polya-Szego symmetrization principle. As a consequence new sharp Embedding Theorems for generalized Besov spaces are proved, including a sharpening of the limiting cases of the classical Sobolev Embedding Theorem. In particular, a surprising self-improving property of certain Sobolev Embeddings is uncovered.
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Limits of higher-order Besov spaces and sharp reiteration Theorems
Journal of Functional Analysis, 2005Co-Authors: G.e. Karadzhov, Mario Milman, Jie XiaoAbstract:Abstract We compute the limits of higher-order Besov norms and derive the sharp constants for certain forms of the Sobolev Embedding Theorem. Our results extend to higher-order spaces the recent work by Brezis–Bourgain–Mironescu and Maz’ya–Shaposhnikova. The interpolation methods we develop are of interest on their own and could have applications to related inequalities.
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A note on L(\infty, q) spaces and Sobolev Embeddings
Indiana University Mathematics Journal, 2003Co-Authors: Jesús Bastero, Mario Milman, Francisco J. Ruiz BlascoAbstract:We prove a sharp version of the Sobolev Embedding Theorem using L(oo, n) spaces and we compare our result with Embeddings due to Hansson, Brezis-Wainger and Maly-Pick.
C. Mason - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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Log-Sobolev inequalities and regions with exterior exponential cusps
Journal of Functional Analysis, 2003Co-Authors: C. MasonAbstract:Abstract We begin by studying certain semigroup estimates which are more singular than those implied by a Sobolev Embedding Theorem but which are equivalent to certain logarithmic Sobolev inequalities. We then give a method for proving that such log-Sobolev inequalities hold for Euclidean regions which satisfy a particular Hardy-type inequality. Our main application is to show that domains which have exterior exponential cusps, and hence have no Sobolev Embedding Theorem, satisfy such heat kernel bounds provided the cusps are not too sharp. Finally, we consider a rotationally invariant domain with an exponentially sharp cusp and prove that ultracontractivity breaks down when the cusp becomes too sharp.
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Log--Sobolev Inequalities and Regions with Exterior Exponential Cusps
arXiv: Spectral Theory, 2001Co-Authors: C. MasonAbstract:We begin by studying semigroup estimates that are more singular than those implied by a Sobolev Embedding Theorem but which are equivalent to certain logarithmic Sobolev inequalities. We then give a method for showing such log--Sobolev inequalities hold for Euclidean regions that satisfy a certain Hardy-type inequality. Our main application is to show that domains with exterior exponential cusps, and hence no Sobolev Embedding Theorem, satisfy such heat kernel bounds provided the cusp is not too sharp. Finally we consider a rotationally invariant domain with an exponentially sharp cusp and show that ultracontractivity does break down after a certain point.
Andrea Cianchi - One of the best experts on this subject based on the ideXlab platform.
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Moser–Trudinger trace inequalities
Advances in Mathematics, 2008Co-Authors: Andrea CianchiAbstract:Sharp constants in exponential inequalities involving a general class of measures in domains are exhibited in the limiting case of the Sobolev Embedding Theorem. A comprehensive approach is presented yielding, as special instances, trace inequalities on ?O, on smooth submanifolds of O of arbitrary dimension, and also on fractal subsets of O, and recovering, in particular, the classical Moser�Trudinger inequality